本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.10节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

1.10 经济学、科学和工程中的线性模型

本节中的数学模型是线性的，也就是说，借助线性方程（通常利用向量或矩阵形式）来描述一个问题，第一个模型讨论营养，实际上代表线性规划问题的一般技术. 第二个模型来自电学. 第三个模型引进线性差分方程的概念，此概念是研究动力系统的有力工具，在工程、生态学、通信和管理科学中都有广泛应用. 线性模型的重要性在于当涉及的变量被保持在合理的范围时，自然现象通常是线性或接近线性的. 同时，线性模型比复杂的非线性模型更容易使用计算机来处理.

在阅读每一个模型时，注意线性模型如何体现所研究问题的相关性质.构造有营养的减肥食谱一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的. 这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究 1，在剑桥大学完成的. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质. 近年来，数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品. 每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例. 例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙. 然而，大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因它含脂肪较少. 然而乳清又含有过多的碳水化合物……下例说明这个问题小规模的情形. 表1-6是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量. 例1 求出脱脂牛奶、大豆粉和乳清的某种组合，使该食谱每天能供给表1-6中规定的蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量.解 设 分别表示这些食物的数量（以100克为单位）. 导出方程的一种方法是对每种营养素分别列出方程. 例如，乘积给出 单位脱脂牛奶供给的蛋白质. 类似地加上大豆粉和乳清所含蛋白质，就应该等于我们所需的蛋白质.类似的计算对每种成分都可进行.更有效的方法（概念上更为简单）是考虑每种食物的“营养素向量”而建立向量方程. 单位的脱脂牛奶供给的营养素是下列标量乘法： （1）

这里 是表1-6的第一列，设 和 分别为大豆粉和乳清的对应向量， b为表示所需要的营养素总量的向量（表中最后一列）. 则 和 分别给出由 单位大豆粉和 单位乳清给出的营养素，所以所需的方程为

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把对应的方程组的增广矩阵行变换得

精确到3位小数，该食谱需要0.277单位脱脂牛奶、0.392单位大豆粉、0.233单位乳清，这样就可供给所需要的蛋白质、碳水化合物与脂肪. 重要的是，求出的 的值是非负的，这使求出的解有实际意义.（你如何用-0.233单位乳清？）由于对许多营养素都有要求，可能使用多种食物，以得到有“非负解”的方程组. 因而为了得到这样的解，需要观察各种方程，事实上，剑桥食谱的制造者应用了33种食物来供给31种营养素.由食谱构造问题产生线性方程（2），因为由食物供给的营养素可写成一个向量的数量倍，如（1）式所示. 即某种食物供给的营养素与加入到食谱中的此种食物的数量成比例，同时，混合物中的营养素是各种食物中营养素之和.设计某种特殊的人类或牲畜的食谱问题是经常遇到的，我们构造向量方程的方法常常可以使这些问题的求解得到简化.线性方程与电路网络电路网络中的电流可由线性方程组描述. 电源，例如电池，促使电荷在网络中流动. 当电流通过电阻（例如灯泡、电动机等），一部分电压被“用掉”；由欧姆定律，这种“电压降”等于

这里V以伏特量度，电阻R以欧姆量度（用表示），电流I用安培表示（简写为amps）.

图1-47中的网络包含3条闭通路，在回路1，2，3中流过的电流分别用 表示. 回路电流的指定方向是任意取定的，若某一电流求出来是负值，表示实际电流方向与图所选择的方向相反，若所示的电流方向是由电池()的正极（长边）指向负极（短边），电压为正，否则电压为负.

回路中电流服从下列定律.

基尔霍夫电压定律围绕一条回路同一方向的电压降 的代数和等于围绕该回路的同一方向电动势的代数和.例2 确定图1-47中网络中的回路电流. 解 对回路1，电流 通过3个电阻，总电压降

回路2的电流流过回路1的一部分，即A 与B 之间的短分支，对应的 RI电压降为 伏特，然而，回路1中分支AB 之间的电流方向与回路2中该分支的电流方向相反，因此回路1中总的 电压降为 .因回路1中的电动势为+30 伏特，基尔霍夫电压定律给出

对回路2，方程为项 来自回路1通过分支 AB（电流方向与回路2的电流方向相反）的电流，项 是回路2中所有电阻的和乘以回路电流. 项 是由回路3的电流通过CD 分支1欧姆电阻引起的，与回路2电流方向相反. 回路3的方程为注意分支 CD上的5伏特电池同时属于回路2与回路3，但对回路3，它是-5伏特，因它的方向与回路3所选择的方向相反.所以这些电流可由解下列方程组得出 （3）对增广矩阵作行变换的解为 安培， 安培， 安培， 的负值表示回路3的实际方向与图1-47中所示相反. 把方程组（3）看作向量方程是有启发性的： （4）每个向量的第一个元素是在第一个回路中的电阻，类似地第二个、第三个元素分别是在第二、第三个回路中的电阻. 第一个电阻向量 列出各个回路中电流 流过的电阻. 当 流过该电阻的方向与另一回路方向相反时，该电阻取负号. 观察图1-47，看看如何写出 中的元素；然后同样写出 .（4）的矩阵形式，给出欧姆定律的矩阵形式. 若所有回路电流都选取同一方向，则 的非主对角线元素全部都是负值.矩阵方程 ,表明这个模型的线性，例如，若电动势向量加倍，则电流向量也加倍；同时，叠加原理也成立. 即方程（4）的解是下列方程的解的和这三个方程中的每一个对应回路仅包含一个电动势的网络（其他电源代以封闭该回路的导线）. 电流模型是线性的，这是因为欧姆定律与基尔霍夫定律都是线性的；通过某一电阻的电压降与通过它的电流成正比（欧姆定律），而回路中的电压降的和等于回路中电动势的和（基尔霍夫定律）.网络中回路电流可以决定电路中每一个分支通过的电流. 若仅有一回路电流通过该分支，如图1-47中从B 到 D的分支，则通过该分支的电流等于回路电流. 若有多个回路电流通过该分支，如从A 到 B的分支，则通过该分支的电流是各回路电流的代数和（基尔霍夫电流定律）. 例如，通过分支AB 的电流为 安培，方向与 相同，分支CD 中的电流为 安培.差分方程在生态学、经济学和工程技术等领域中，需要研究随时间变化的动力系统，这种系统通常在离散的时刻测量，得到一个向量序列 . 向量 的各个元素给出该系统在第k次测量中的状态的信息.如果有矩阵A 使 一般地，

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则（5）式称为线性差分方程（或递归关系）. 给定这样一种关系，我们可由已知的 计算 等等. 4.8节与4.9节以及第5章的若干节，将推导求 的公式，并确定 k无限增大时 的变化情况. 下列的讨论说明导致差分方程问题产生的原因.

地理学家对人口的迁移很有兴趣. 这里我们考虑人口在某一城市与它的周边地区之间迁移的简单模型.固定一个初始年，例如说，2000年，用 和 分别表示该年城市和郊区的人口数. 令 表示人口向量对2001年与以后各年，把人口向量表示为我们的目的是在数学上表示出这些向量的关系.设人口统计学的研究说明每年约有5%的城市人口移居郊区（其他95%留在城市），而3%的郊区人口移居城市（其他97%留在郊区）. 见图1-48.图1-48 每年城市与郊区迁移的百分比一年后，原来城市中的人口 在城市和郊区的分布为 （6）郊区2000年的人口 一年后的分配为 （7）向量（6）和（7）组成2001年的全部人口 1，因为

即

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这里 是移民矩阵，由下表确定：

方程（8）表示人口由2000年到2001年的变化. 若移民比例保持常数，则由2000年到2001年的改变为由2002年到2003年以及以后的各年的变化都是类似的. 一般地 （9）向量序列 描述了若干年中城市、郊区人口变化的状况.例3 设2000年城市人口为600 000，郊区人口为400 000人，求上述区域2001年和2002年的人口.解 2000年的人口为 ，对2001年，对2002年，

式（9）的人口迁移模型是线性的，因为对应 是线性变换. 这依赖于两个事实：从一个地区迁往另一个地区的人口与该地区原有的人口成正比，如（6）式和（7）式所示，而这些人口迁移选择的累积效果是不同区域的人口迁移的叠加.

练习题求出矩阵 A以及向量 x和 b，使例1中的问题成为解方程Ax=b .习题1.10补充习题